THƯ VIỆN CỦA MANDELBROT ■ GALILEO CÓ BỊ MÙ KHÔNG? ■ NƯỚC ĐỔ ĐẦU VỊT ■ PHÉP TỰ BIẾN ĐỔI AFIN (SELF AFFINITY) ■ CÁCH ĐỂ THẾ GIỚI TRỞ NÊN PHỨC TẠP MỘT CÁCH ĐƠN GIẢN, HOẶC TRỞ NÊN ĐƠN GIẢN MỘT CÁCH PHỨC TẠP
Đó là một buổi chiều buồn khi tôi ngửi thấy mùi sách cũ trong thư viện của Benoit Mandelbrot. Hôm đó là một ngày nóng bức của tháng 8 năm 2005, và nó đã làm tăng thêm mùi keo ẩm mốc của những cuốn sách tiếng Pháp cũ kỹ đó, gợi cảm giác nhớ nhung da diết. Tôi rất giỏi đè nén thứ cảm xúc nhớ nhung ấy, nhưng lại chẳng thể làm được gì khi chúng “đột kích” dưới hình thức âm nhạc hoặc mùi vị. Mùi những cuốn sách của Mandelbrot là mùi của văn học Pháp, của thư viện trong ngôi nhà bố mẹ tôi, của những thời khắc dạo quanh các hiệu sách và thư viện vào tuổi niên thiếu khi nhiều cuốn sách quanh tôi đều được viết (than ôi) bằng tiếng Pháp, khi tôi nghĩ rằng văn học là thứ quan trọng hơn tất thảy mọi thứ. (Tôi không còn tìm đến nhiều cuốn sách tiếng Pháp kể từ thời điểm đó). Dù tôi muốn nó trừu tượng đến mức nào thì văn học thời đó có sự hiện thân về mặt vật chất, nó có mùi và đây chính là nó.
Chiều hôm đó ảm đạm còn là vì Mandelbrot sắp chuyển đi nơi khác, khi tôi bắt đầu quen với việc gọi cho ông bất kỳ lúc nào chỉ để nhờ giải đáp thắc mắc của mình, ví dụ như vì sao người ta không nhận ra rằng quy luật 80/20 có thể trở thành 50/01. Mandelbrot quyết định chuyển đến Boston, không phải để nghỉ hưu mà để làm việc cho một trung tâm nghiên cứu do chính phủ tài trợ. Vì chuyển từ ngôi nhà thênh thang ở ngoại ô Westchester, New York để đến sống tại một căn hộ ở Cambridge nên ông đã bảo tôi đến lấy những bộ sách chọn lọc của ông.
Ngay cả tựa đề của những cuốn sách cũng gây cảm giác nhớ nhung. Tôi chất đầy những cuốn sách tiếng Pháp vào một thùng giấy, như bản in năm 1949 Matière et mémoire của Henri Bergson – có vẻ như Mandelbrot đã mua nó khi còn là sinh viên (ôi cái mùi!).
Sau nhiều lần nhắc đến tên ông đâu đó trong cuốn sách này, cuối cùng tôi xin chính thức giới thiệu Mandelbrot, chủ yếu với tư cách là người có tước vị hàn lâm học thuật mà tôi có thể nói chuyện chân thành nhất về sự ngẫu nhiên. Các nhà toán học về xác suất thống kê khác sẽ ném cho tôi các định lý với những cái tên tiếng Nga như “Sobolev”, “Kolmogorov”, ước số Wiener, hoặc sẽ bị mất phương hướng nếu không có chúng; họ hiếm khi đi vào trọng tâm vấn đề hoặc thoát ra khỏi “chiếc hộp” nhỏ bé của mình đủ lâu để xem xét các sai sót thực nghiệm của nó. Với Mandelbrot, mọi thứ hoàn toàn khác như thể hai chúng tôi là những người đồng hương được gặp lại nhau sau nhiều năm lưu đày biệt xứ, và có thể nói bằng thứ ngôn ngữ mẹ đẻ không chút lo lắng. Ông là người thầy “bằng xương bằng thịt” duy nhất mà tôi từng có – thầy giáo của tôi chủ yếu là những cuốn sách trong thư viện. Tôi không mấy tôn trọng các nhà toán học chuyên về tính bất định và thống kê học nên không muốn xem ai là thầy của mình cả. Trong suy nghĩ của tôi, các nhà toán học chuyên về tính ổn định chẳng có gì liên quan đến tính ngẫu nhiên. Mandelbrot đã cho tôi thấy rằng mình đã sai.
Ông nói thứ tiếng Pháp trang trọng và chính xác một cách khác thường, hệt như cách nói của những người Cận Đông thuộc thế hệ bố mẹ tôi hay các quý tộc của Cựu thế giới. Đôi khi, thứ tiếng Anh Mỹ nặng trịch nhưng rất chuẩn của ông nghe hơi kỳ cục. Ông cao to “quá khổ” (mặc dù tôi chưa bao giờ thấy ông ăn một bữa thịnh soạn nào) nhưng có khuôn mặt trẻ con với vẻ ngoài cường tráng.
Nhìn bề ngoài, mọi người sẽ nghĩ rằng điểm giống nhau giữa tôi và Mandelbrot là sự bất định dữ dội, tức các Thiên Nga Đen, và các khái niệm thống kê nhàm chán. Mặc dù chúng tôi cộng tác với nhau nhưng đây không phải nội dung được đề cập đối trong các cuộc thảo luận giữa hai người. Chúng tôi chủ yếu nói về văn chương, mỹ học hay lịch sử về những người có trí tuệ xuất chúng. Mandelbrot có thể kể những cầu chuyện về những nhân vật đầy ấn tượng mà ông đã hợp tác trong thế kỷ qua, nhưng không hiểu sao tôi vẫn thấy cá tính của các nhà khoa học không thú vị bằng cá tính của những người uyên bác trí rộng tài cao. Cũng như tôi, Mandelbrot quan tâm đến những người tao nhã lịch thiệp có khả năng kết hợp được những đặc điểm mà nhìn chung là không thể tồn tại cùng nhau. Người duy nhất mà ông thường nhắc đến là Baron Pierre Jean de Menasce mà ông đã gặp tại Princeton vào thập niên 50, khi đó là bạn cùng phòng của nhà vật lý Oppenheimer. De Menasce chính là kiểu người mà tôi quan tâm, là hiện thân của Thiên Nga Đen. Ông xuất thân từ tầng lớp thương gia giàu có người Do Thái Alexandria, nói tiếng Pháp và tiếng Ý giống như những người Cận Đông đầy phức tạp. Tổ tiên của ông đã dùng cách phát âm của Venice để đặt cho họ Ả Rập của mình, thêm vào đó tước hiệu cao quý của Hungary và biến thành dòng dõi hoàng tộc. De Menasce không chỉ cải đạo để theo Cơ đốc giáo mà còn trở thành một linh mục Dominica và một học giả vĩ đại về ngôn ngữ Xê-mít và Ba Tư. Mandelbrot luôn chất vấn tôi về Alexandria vì ông luôn tìm kiếm những nhân vật như thế.
Đúng vậy, những nhân vật có trí tuệ tinh thông chính là người mà tôi tìm kiếm trong đời. Người cha uyên bác của tôi – nếu còn sống, cũng chỉ lớn hơn Benoit M. hai tuần tuổi – rất thích bầu bạn với các vị linh mục dòng Tên vô cùng có học thức. Những vị khách này luôn chiếm chỗ của tôi ở bàn ăn khi đó. Tôi còn nhớ một người có bằng y khoa và bằng Tiến sĩ vật lý nhưng lại dạy tiếng Xy-ri (Aramaic) cho người dân địa phương tại Viện ngôn ngữ phương Đông Beirut. Công việc trước đó của ông là dạy môn vật lý cho trường trung học, và công việc trước đó nữa có lẽ là giảng dạy tại trường y. Sự uyên bác này gây cho cha tôi ấn tượng vô cùng manh mẽ hơn bất kỳ công trình khoa học nào. Có lẽ chút gien di truyền nào đó trong tôi đã thôi thúc bản thân mình phải tránh xa những kẻ phàm phu tục tử (bildungsphilisters).
Mặc dù Mandelbrot thường bộc lộ sự ngạc nhiên trước tính khí của những người có học vấn uyên bác nhưng kiêu căng tự phụ và những nhà khoa học xuất chúng như chẳng mấy ai biết đến, như người bạn cũ của Carleton Gajdusek, người đã khiến ông ấn tượng vì có khả năng phát hiện ra nguyên nhân của các căn bệnh nhiệt đới, có vẻ Mandelbrot chẳng hào hứng nói về mối quan hệ của mình với những người mà chúng ta gọi là các nhà khoa học vĩ đại. Phải mất một thời gian tôi mới phát hiện ra ông đã từng làm việc với một danh sách ấn tượng gồm các nhà khoa học ở hầu hết mọi lĩnh vực – thứ mà một kẻ khoa trương hẳn phải luôn mồm nhắc đến. Mặc dù đã làm việc với ông được vài năm, nhưng một ngày kia, khi đang trò chuyện với vợ ông, tôi mới phát hiện ra rằng ông đã có hai năm làm cộng tác viên toán học cho nhà tâm lý học Jean Piaget. Tôi còn sốc hơn nữa khi biết ông cũng đã từng làm việc với sử gia vĩ đại Fernand Braudel, nhưng có vẻ Mandelbrot không quan tâm đến Braudel. Ông không buồn thảo luận về John von Neuman với người mà ông hợp tác như một gã nghiên cứu sinh hệ sau tiến sĩ. Có một lần, tôi hỏi ông về Charles Tresser, một nhà vật lý vô danh mà tôi gặp tại một bữa tiệc – người đã viết về thuyết hỗn mang và bổ sung nguồn thu nhập cho nhà nghiên cứu của mình bằng cách làm bánh cho cửa hàng của người này ở gần thành phố New York. Ông nhấn mạnh: “un homme extraordinaire” (một người phi thường) và không ngớt lời khen ngợi Tresser. Nhưng khi được hỏi về một nhân vật nổi tiếng nào đó, ông trả lời, “Anh ta là một bon élève (sinh viên giỏi) gương mẫu với điểm số cao, không có chiều sâu, không có tầm nhìn”. Nhân vật đó là một người nhận giải Nobel.
Bây giờ, vì sao tôi gọi công việc này là sự ngẫu nhiên Mandelbrot, hay sự ngẫu nhiên phân dạng? Từng mảnh ghép nhỏ của bài toán đã được nhắc đến trước đó bởi những người như Pareto, Yule và Zipf, nhưng chính Mandelbrot là người a) kết nối chúng lại với nhau, b) tạo ra mối liên hệ giữa tính ngẫu nhiên và hình học (và một phân nhánh đặc biệt ở đó), đồng thời c) đi đến kết luận tự nhiên về vấn đề đó. Quả thực, nhiều nhà toán học nổi tiếng hiện nay một phần là nhờ Mandelbrot đã đi sâu nghiên cứu các công trình của họ để phục vụ cho những tuyên bố của ông – chiến lược mà tôi đã áp dụng trong cuốn sách này. “Tôi phải hư cấu về các bậc tiền bối của mình để được mọi người nhìn nhận một cách nghiêm túc”, ông từng nói với tôi như thế, và đã sử dụng sự tin cậy của những nhân vật quyền lực và có ảnh hưởng như một công cụ tu từ. Một người hầu như lúc nào cũng có thể tìm kiếm một tư tưởng nào đó từ các bậc tiền bối của mình. Bạn có thể tìm thấy một người nào đó đã nghiên cứu về lý luận của bạn và sử dụng nghiên cứu đó để hỗ trợ cho chính mình. Mối liên hệ mang tính khoa học với một ý tưởng lớn, “brand name” (tên nhãn hiệu), sẽ thuộc về người có khả năng kết nối các điểm chứ không phải người chỉ thực hiện một quan sát ngẫu nhiên – thậm chí Charles Darwin, người đã được các nhà khoa học văn hóa thấp cho là “đã bịa đặt” về sự sống sót của những loài thích hợp nhất, không phải là người đầu tiên nói về điều này. Trong phần giới thiệu của cuốn Nguồn gốc muôn loài (The Origin of Species), ông đã viết rằng những sự kiện mà mình trình bày không nhất thiết phải nguyên bản, mà là những kết quả ông cho là “thú vị” (vì ông nhận xét nó với sự khiêm nhường đặc trưng thời Victoria). Cuối cùng, chính những người rút ra kết luận và nắm bắt được tầm quan trọng của các ý tưởng, nhìn thấy được giá trị thật sự của chúng sẽ là người chiến thắng. Họ là những người nói về chủ đề này.
Do đó, tôi sẽ mô tả về hình học của Mandelbrot.
Hình tam giác, hình vuông, hình tròn và các khái niệm hình học khác khiến nhiều người buồn ngủ trong lớp học có lẽ là những khái niệm trong sáng và đẹp đẽ, nhưng có vẻ như chỉ xuất hiện trong suy nghĩ của các kiến trúc sư, các nhà thiết kế, các tòa nhà nghệ thuật hiện đại, và các giáo viên nhiều hơn so với chính bản chất của nó. Điều này chính xác, ngoại trừ một điều là hầu hết chúng ta đều không nhận ra. Các ngọn núi không phải là hình tam giác hay hình kim tự tháp; cây cối không phải là hình tròn; các đường thẳng hiếm khi xuất hiện ở khắp nơi. Mẹ Thiên Nhiên không tham dự các khóa học về hình học và cũng không đọc những cuốn sách về Euclid của Alexandria. Môn hình học của Mẹ Thiên Nhiên có hình dạng lởm chởm nhưng với một lôgic riêng rất dễ hiểu.
Tôi đã nói rằng chúng dường như thiên về Plato hóa, và chỉ nghĩ trong phạm vi những gì đã nghiên cứu: không ai, dù là thợ nề hay nhà triết học tự nhiên, có thể dễ dàng thoát khỏi tình trạng nô lệ đó. Hãy xem xét nội dung sau của Galileo vĩ đại, nếu không thì đó là của một người chuyên lật tẩy những gì dối trá: Cuốn sách vĩ đại về Thiên Nhiên luôn ở rộng mở trước mắt bạn và trong đó có chứa đựng triết học chân chính… Nhưng chúng ta không thể đọc nó trừ khi biết được ngôn ngữ và các nhân vật được viết trong đó…
Nó được viết bằng ngôn ngữ toán học và các nhân vật là các hình tam giác, hình tròn và các mô hình hình học khác.
Có đúng là Galileo bị mù không? Ngay cả Galileo vĩ đại, với toàn bộ tư tưởng độc lập của mình, vẫn không thể hiểu rõ được Mẹ Thiên Nhiên. Tôi tin rằng nhà ông ta có nhiều cửa sổ và rằng ông ta hay đi ra ngoài: lẽ ra Galileo nên hiểu rằng không thể dễ dàng tìm thấy các hình tam giác trong tự nhiên. Chúng ta bị tẩy não một cách quá dễ dàng.
Chúng ta hoặc là mù, hoặc dốt nát, hoặc cả hai. Rõ ràng, hình học của tự nhiên không phải là hình học của Euclid, và không ai, hầu như không một ai, nhìn thấy nó.
Điểm mù (tự nhiên) này giống với ngụy biện trò chơi – thứ khiến chúng ta cho rằng các sòng bạc đại diện cho tính ngẫu nhiên.
Nhưng trước hết, xin mô tả về hình học phân dạng (Fractals). Sau đó, chúng ta sẽ chỉ ra mức độ liên quan của chúng với cái mà được gọi là định luật lũy thừa, hay định luật thang bậc.
Phân dạng (Fractal) là từ Mandelbrot dùng để mô tả đặc điểm hình học của những vật thể dạng thô và gãy vỡ – xuất phát từ tiếng La-tinh fractus, và có nguồn gốc của từ fractured. Tính phân dạng (fractality) là quá trình lặp lại các mô hình hình học ở nhiều tỷ lệ khác nhau, tạo ra ngày càng nhiều phiên bản nhỏ hơn của chúng. Trong một chừng mực nào đó, các phần nhỏ cũng giống với phần nguyên. Trong chương này, tôi sẽ cố gắng chỉ ra cách áp dụng phân dạng vào phân nhánh về tính bất định có mang tên Mandelbrot: sự ngẫu nhiên Mandelbrot.
Các vân lá trông như các nhánh; các nhánh trông như cây; các hòn đá trông như những ngọn núi nhỏ. Một vật thể khi thay đổi về kích thước sẽ không thay đổi về chất lượng. Nếu bạn nhìn bờ biển Anh từ trên máy bay, nó sẽ giống như những gì bạn nhìn thấy qua kính lúp. Đặc tính của phép tự biến đổi Afin này ám chỉ rằng có thể sử dụng một quy tắc tưởng chừng như ngắn gọn và đơn giản về tính lặp trên máy vi tính hoặc ngẫu nhiên để tạo ra hình dáng của tính phức tạp tưởng chừng như vĩ đại. Điều này có ích cho các phép đồ họa máy tính, nhưng quan trọng hơn, đây chính là cách vận hành của tự nhiên. Mandelbrot đã thiết kế ra vật thể toán học mà ngày nay được biết đến với tên gọi là tập hợp Mandelbrot, đối tượng nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học. Nó trở nên phổ biến với những người theo thuyết hỗn mang vì đã tạo ra các hình ảnh về độ phức tạp ngày càng tăng bằng cách sử dụng quy tắc đệ quy nhỏ một cách dễ nhầm lẫn; đệ quy có nghĩa là thứ có thể tái ứng dụng với chính nó một cách không giới hạn. Bạn có thể nhìn vào tập hợp này với các độ phân giải ngày càng nhỏ không bao giờ kết thúc; bạn sẽ luôn nhìn thấy những hình ảnh có thể nhận biết được. Những hình ảnh đó không bao giờ giống nhau nhưng lại có mối quan hệ với nhau, một sự tương đồng mạnh mẽ giữa các nhóm cùng họ.
Các đối tượng này có vai trò trong lĩnh vực mỹ học. Hãy xem xét các ứng dụng sau:
Nghệ thuật thị giác: Hầu hết các đối tượng được tạo ra từ máy vi tính đều dựa trên một phiên bản nào đó từ hình học phân dạng của Mandelbrot. Chúng ta cũng có thể nhìn thấy hình học phân dạng trong lĩnh vực kiến trúc, hội họa, và nhiều tác phẩm nghệ thuật thị giác khác – dĩ nhiên là không được kết hợp một cách có ý thức bởi người tạo ra tác phẩm đó.
Âm nhạc: Hãy ngâm nga phần mở đầu bốn nốt trong bản giao hưởng thứ năm của Beethoven: ta-ta-ta-ta. Sau đó thay mỗi nốt bằng chính phần mở đầu bốn nốt đó để tạo ra một nhịp điệu gồm mười sáu nốt. Bạn sẽ thấy (hay nói đúng hơn là nghe) mỗi làn sóng nhỏ sẽ giống với làn sóng lớn ban đầu. Ví dụ, Bach và Mahler đã viết các phần phụ giống với những phần lớn đầu tiên nơi các phần phụ đó được hình thành.
Thơ: Ví dụ, thơ của Emily Dickinson là một kiểu phân dạng: phần lớn giống với phần nhỏ. Theo một nhà bình luận, thơ của bà là “một sự kết hợp đầy ý thức giữa các cách phát âm, nhịp thơ, lối nói tu tù; và ngữ điệu”.
Ban đầu, hình học phân dạng đã khiến Benoit M. trở thành “kẻ lạc loài” trong tổ chức toán học đó. Các nhà toán học Pháp khiếp sợ nó. Cái gì? Lạy chúa! Điều này chẳng khác nào trình chiếu một bộ phim khiêu dâm cho những người phụ nữ thế hệ bà tôi – những người mộ đạo thuộc Giáo hội Chính thống tại ngôi làng cổ Amioun. Vì thế, Mandelbrot đã làm việc với tư cách một nhà trí thức tị nạn tại một trung tâm nghiên cứu IBM ở phía bắc New York. Đó là tình huống f*** you money vì IBM cho phép ông làm bất cứ thứ gì ông muốn.
Nhưng đại đa số công chúng (chủ yếu là các chuyên viên tin học) đều hiểu được điều này. Cuốn sách The Fractal Geometry of Nature (Tạm dịch: Hình học phân dạng của tự nhiên) của Mandelbrot đã gây chú ý khi ra mắt lần đầu cách đây một phần tư thế kỷ. Nó lan rộng khắp các giới văn nghệ sĩ và dẫn đến nhiều nghiên cứu về mỹ học, thiết kế kiến trúc, thậm chí trong ứng dụng công nghiệp lớn. Benoit M. còn được mời làm giáo sư về y học! Giả sử là các lá phổi đều tự đồng dạng. Những buổi nói chuyện của ông truyền đi khắp giới nghệ sĩ và người ta gọi ông là “Ngôi sao nhạc rock” trong lĩnh vực toán học. Thời đại vi tính đã giúp ông trở thành một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất là trong lịch sử nếu xét trong phạm vi các ứng dụng của ông, nhưng mãi về sau ông mới được tháp ngà công nhận. Ngoài tính phổ biến, chúng ta sẽ thấy công trình của ông tạo ra một đặc tính khác thường: nó vô cùng dễ hiểu.
Xin nói vắn tắt về tiểu sử của ông. Năm 1936, vào lứa tuổi 12, Mandelbrot rời Warsaw đến Pháp. Vì hoàn cảnh, ông đã may mắn thoát khỏi nền giáo dục truyền thống xứ Gô-loa với những bài tập đại số chán ngắt và phần lớn là tự học. Ông chịu ảnh hưởng sâu sắc bởi tư tưởng của người chú là Szolem, thành viên xuất chúng của tổ chức toán học Pháp và là giáo sư của trường College de France. Về sau, Benoit M. định cư tại Mỹ, dành phần lớn cuộc đời mình hoạt động như một nhà khoa học công nghiệp, với một vài công việc nghiên cứu học thuật nhất thời khác. Máy vi tính có hai vai trò trong lĩnh vực khoa học mới mà Mandelbrot đã giúp tạo ra. Thứ nhất, như chúng ta đã thấy, các chủ thể phân dạng có thể được tạo ra với một quy tắc đơn giản được áp dụng cho bản thân chúng, khiến chúng trở nên lý tưởng cho hoạt động tự động của máy vi tính (hoặc Mẹ Thiên Nhiên). Thứ hai, trong quá trình hình thành các khả năng trực giác về thị giác, có một mối quan hệ biện chứng giữa nhà toán học đó và các vật thể được tạo ra.
Bây giờ, hãy cùng xem cách nó mang chúng ta đến với tính ngẫu nhiên. Trên thực tế, chính xác suất là chuyên môn mà Mandelbrot đã bắt đầu sự nghiệp của mình.
Tôi đang nhìn vào tấm thảm trải sàn trong phòng làm việc của mình. Nếu nhìn nó bằng kính hiển vi, tôi sẽ thấy một “địa hình” rất gồ ghề. Nếu tôi nhìn nó bằng kính lúp, “địa hình” đó sẽ nhẵn hơn nhưng vẫn không được bằng phẳng cho lắm. Nhưng khi tôi đứng thẳng người nhìn xuống, tấm thảm trở nên đồng nhất – gần như nhẵn mịn như một tờ giấy. Khi được nhìn bằng mắt thường, tấm thảm tương ứng với Mediocristan và luật số lớn: tôi đang nhìn thấy tổng các chuyển động sóng, và các chuyển động sóng này kết thúc. Trường hợp này giống với sự bất định thuộc đường cong Gauss: lý do khiến tách cà phê của tôi không chuyển động đột ngột là vì tổ hợp tất cả các vật thể chuyển động bên trong nó trở nên phẳng lặng. Tương tự, bạn đạt đến các trạng thái ổn định nhờ bổ sung các yếu tố bất định nhỏ thuộc đường cong Gauss: đây chính là luật số lớn.
Đường cong Gauss không phải là tự đồng dạng, và đó là lý do tách cà phê của tôi không nhảy trên bàn.
Bây giờ, hãy thực hiện một chuyến đi núi. Dù bạn đi trên độ cao nào trên bề mặt trái đất thì nó vẫn rất lởm chởm. Điều này lại càng đúng với độ cao 30.0 feet. Khi bay trên dãy Alps, bạn sẽ nhìn thấy những ngọn núi lởm chởm như những viên đá nhỏ. Vì thế, một số bề mặt không thuộc Mediocristan, và việc thay đổi độ phân giải sẽ không làm cho chúng trở nên nhẵn mịn/phẳng lặng hơn. (Lưu ý rằng hiệu ứng này chỉ biến mất khi bạn càng đi lên các độ cao cực độ hơn. Theo quan sát của người đứng trên không gian, hành tinh của chúng ta trông thật nhẵn mịn, nhưng đó là vì nó quá nhỏ. Nếu trở thành một hành tinh lớn hơn, nó sẽ có những ngọn núi cao hơn cả dãy Himalaya, và khi đó người ta cần phải đứng ở vị trí quan sát xa hơn nữa để thấy nó nhẵn nhụi. Tương tự, nếu hành tinh này có đông dân số hơn, và thậm chí vẫn duy trì mức tài sản bình quân tương tự, khi đó có thể sẽ có một người giàu hơn rất nhiều so với Bill Gates).
Minh họa 11 và 12 chứng minh cho quan điểm trên: một người quan sát nhìn vào bức tranh đầu tiên có thể nghĩ đó là nắp ống kính (máy ảnh) rơi trên nền đất.
Hãy nhớ lại thảo luận của chúng tôi về bờ biển Anh. Nếu bạn ngồi trên máy bay nhìn xuống, các đường quanh của nó không khác mấy so với các đường cong nhìn thấy trên bãi biển. Sự thay đổi về tỷ lệ không làm thay đổi hình thù hoặc mức độ nhẵn mịn của chúng.
Hình học phân dạng có liên quan gì đến sự phân bổ tài sản, kích cỡ các thành phố, doanh thu trên các thị trường tài chính, con số thương vong trong chiến tranh, hay kích cỡ các hành tinh? Hãy cùng kết nối các điểm này lại với nhau.
Vấn đề mấu chốt ở đây là sự phân dạng có các ước số thống kê hoặc bằng số mà (trong chừng mực nào đỏ) được bảo toàn khắp các tỷ lệ – tỷ lệ đều giống nhau, không như đường cong Gauss. Minh họa 13 sẽ trình bày một cách nhìn khác về sự tự đồng dạng. Như chúng ta đã thấy ở Chương 15, những người cực giàu cũng giống như những người giàu, chỉ khác là họ giàu hơn thôi – tài sản không phụ thuộc vào tỷ lệ.
Minh họa 11
Rõ ràng, đây là một nắp ống kính (máy ảnh) rơi trên nền đất.
Vào thập niên 60, Mandelbrot đã trình bày các ý tưởng của mình về giá cả hàng hóa và chứng khoán với cơ quan kinh tế học, và các nhà kinh tế tài chính đều rất hào hứng với nó. Năm 1963, George Shultz, vị chủ nhiệm khoa khi đó của trường kinh doanh thuộc Đại học Chicago, đã đề nghị Mandelbrot làm giảng sư cho trường, về sau, chính George Shultz đã trở thành Bộ trưởng Bộ ngoại giao dưới thời Ronald Reagan.
Một tối nọ, Shultz gọi điện cho Mandelbrot xin hủy bỏ lời đề nghị đó.
Vào thời điểm tôi viết cuốn sách này, tức 44 năm sau, không có gì mới xảy ra trong lĩnh vực kinh tế học và thống kê khoa học xã hội – ngoại trừ sự tầm phào được tô điểm với cách nhìn nhận thế giới như thể chúng ta chỉ phụ thuộc vào sự ngẫu nhiên ôn hòa – và do đó người ta bắt đầu tổ chức trao giải Nobel. Một số tài liệu được viết bởi những người không hiểu được luận điểm trung tâm của cuốn sách này đã cung cấp “bằng chứng” cho thấy Mandelbrot đã sai – bạn luôn có thể tạo ra các dữ liệu để “cũng cố” quan điểm cho rằng quá trình cơ bản đều thuộc về đường cong Gauss bằng cách tìm thấy những thời điểm không có các biến cố hiếm, hệt như cách bạn nhìn thấy không có ai giết ai cả và sử dụng nó làm “bằng chứng” cho hành vi lương thiện. Bởi tính bất cân xứng với phương pháp quy nạp, tôi xin nhắc lại rằng chúng ta dễ dàng chối bỏ một đường cong hình chuông hơn chấp nhận nó, cũng giống như dễ dàng chối bỏ sự ngây thơ vô tội; ngược lại, chúng ta lại khó chấp nhận một phân dạng? Vì sao? Vì một sự kiện đơn lẻ có thể bác bỏ tranh luận rằng chúng ta đối phó với một đường cong hình chuông Gauss.
Minh họa 12
Thật ra, vật thể đó không phải là nắp ống kính (máy ảnh). Hai hình này minh họa cho sự bất biến về tỷ lệ: địa hình này mang tính phân dạng (fractal). Hãy so sánh nó với các vật thể do con người tạo ra như xe hơi hay nhà ở. Nguồn: Giáo sư Stephen W. Wheatcraff, University of Nevada, Reno.
Tóm lại, cách đây bốn thập kỷ, Mandelbrot đã trao “những viên ngọc trai” cho các nhà kinh tế và những kẻ “phàm phu tục tử” nhưng đã bị từ chối vì “chúng” quá tốt đối với họ. Người xưa có câu “margaritas ante porcos”, hay còn gọi là “nước đổ đầu vịt”.
Trong phần còn lại của chương này, tôi sẽ giải thích lý do của việc nên chứng thực vì sao phân dạng của Manddbrot là yếu tố đại diện cho phần lớn sự ngẫu nhiên mà không cần phải chấp nhận lợi ích cụ thể của chúng. Phân dạng phải là một xác lập mặc định, một phép tính xấp xỉ, một khuôn khổ. Chúng không giải được bài toán Thiên Nga Đen và không thể biến tất cả các Thiên Nga Đen thành những sự kiện có thể dự đoán được, nhưng có khả năng làm giảm đáng kể tác động của hiện tượng Thiên Nga Đen bằng cách giúp ta hình dung về chúng. (Nó biến Thiên Nga Đen thành thiên nga xám. Sao lại xám? Bởi chỉ có đường cong Gauss mới có thể mang đến cho bạn sự ổn định. Sẽ bàn đến nó sau).
Trong các danh sách tài sản ở Chương 15, tôi đã chỉ ra tính lôgic của một phân phối phân dạng: nếu tài sản tăng gấp đôi từ 1 triệu lên 2 triệu, khả năng số người có số tiền đó sẽ được chia làm bốn, tức 22. Nếu số mũ là 1, khi đó, khả năng tài sản đó sẽ được chia đôi. Số mũ đó được gọi là “lũy thừa” (đó là lý do mọi người sử dụng thuật ngữ định luật lũy thừa). Cứ cho là số lần xảy ra cao hơn một mức nhất là định nào đó là “mức trội” (exceedance) – mức trội của hai triệu là số người có khối tài sản trị giá hơn hai triệu. Một thuộc tính chính của các phân dạng này (hay còn gọi là tính thang bậc) là tỷ lệ của hai mức trội 73 sẽ trở thành tỷ lệ của hai số đó trên lũy thừa âm của hàm mũ lũy thừa đó.
Chúng ta hãy minh họa điều này. Giả sử bạn “nghĩ” rằng chỉ có 96 cuốn sách/năm bán được hơn 250.000 bản (theo số liệu của năm vừa rồi), và rằng số mũ đó vào khoảng 1,5. Bạn có thể tiến hành ngoại suy để đoán được rằng khoảng 34 cuốn sách sẽ bán được hơn 500.000 bản – đơn giản là 96 lần (500.000/250.000). Chúng ta có thể tiếp tục, và lưu ý rằng khoảng 8 cuốn sách bán được hơn 1 triệu bản, ở đây là 96 lần của (500.000/250.000)-1,5. Chúng ta có thể tiếp tục, và lưu ý rằng khoảng 8 cuốn sách phải bán được hơn 1 triệu bản, ở đây là 96 lần của 0.000.000/250.000)-1,5.
Minh họa 13: Mô hình thống kê phân dạng thuần túy
Mức độ bất công ở 16 phần phụ của biểu đồ đều bằng nhau. Trong thế giới Gauss, những chênh lệch về tài sản (hoặc bất kỳ khối lượng nào khác) sẽ giảm khi bạn nhìn vào giới hạn phía trên – vì thế các tỷ phú có sự tương đồng với nhau hơn so với các triệu phú, và các triệu phú có sự tương đồng với nhau hơn so với tầng lớp trung lưu. Nói tóm lại, sự thiếu công bằng này ở các mức tài sản chính là sự tự đồng dạng về thống kê.
Tôi xin chỉ ra các số mũ khác nhau đối với một chuỗi các hiện tượng.
Xin nói thẳng rằng các số mũ này không có nhiều ý nghĩa về độ chính xác của các con số. Chúng ta chứng kiến ngay đây, nhưng lúc này hãy lưu ý rằng chúng ta không quan sát mà chỉ đoán các thông số này, hoặc suy đoán chúng cho các thông tin thống kê, điều nay đôi khi khiến chúng ta khó biết được các thông số thật sự – nếu như trên thực tế chúng có tồn tại. Trước tiên, chúng ta hãy kiểm tra các kết quả thực tế của một số mũ.
Bảng 2 minh họa tác động của cái gọi là “xác suất cực nhỏ, tác động cực lớn”. Nó thể hiện những đóng góp của các mức 1% và 20% vào tổng thể. Số mũ càng thấp thì các mức đóng góp này càng cao. Nhưng hãy nhìn vào mức độ nhạy cảm của quy trình này: với số mũ dao động giữa 1,1 và 1,3, mức đóng góp đó đã thay đổi từ 66% xuống 34% so với tổng thể. Chỉ chênh nhau 0,2 nhưng kết quả đã thay đổi một cách rõ rệt – và sự chênh lệch đó có thể là do sai số trong một phép đo đơn giản. Sự khác biệt này không phải là không đáng kể: giả sử rằng chúng ta không có khái niệm cụ thể nào về hàm số mũ đó vì không thể trực tiếp đo được nó. Tất cả những gì chúng ta phải làm là dự đoán từ dữ liệu quá khứ hoặc dựa trên những lý thuyết nào cho phép xây dựng được mô hình giúp chúng ta có được ý tưởng nào đó – nhưng những mô hình này có lẽ đã giấu đi các điểm yếu – những điểm giúp chúng ta không mù quáng áp dụng chúng vào thực tiễn cuộc sống.
Bảng 2: Số mũ được giả định cho các hiện tượng khác nhau
Hiện tượng Số mũ giả định
(độ xấp xỉ không chính xác)
Mức độ sử dụng thường xuyên của các từ 1,2
Số lượng kết quả thành công trên các trang web 1,4
Số lượng sách bán ra tại Mỹ 1,5
Số cuộc gọi nhận được 1,22
Mức độ ảnh hưởng của các trận động đất 2,8
Đường kính của các hình tròn trên mặt trăng 2,14
Cường độ của các vụ nổ giải phóng năng lượng 0,8
Phạm vi ảnh hưởng của các cuộc chiến 0,8
Trị giá tài sản của người Mỹ 1,1
Số người/họ 1
Dân số của các thành phố của Hoa Kỹ 1,3
Các biến động trên thị trường 3 (trở xuống)
Quy mô công ty 1,5
Số thương vong trong các cuộc tấn công khủng bố 2 (nhưng có thể thấp hơn rất nhiều)
Nguồn M.E.J, Newman (2005) và các tính toán của tác giả này.
Bảng 3: Ý nghĩa của sỗ mũ
Số mũ Phần của nhóm 1 % dẫn đầu Phần của nhóm 2% dẫn đầu
1 99,99%* 99,99%
1,1 66% 86%
1,2 47% 76%
1,3 34% 69%
1,4 27% 63%
1,5 22% 58%
2 10% 45%
2,5 6% 38%
3 4,6% 34%
* Rõ ràng, bạn không quan sát 100% trong một ví dụ giới hạn.
Vì thế, hãy nhớ rằng hàm mũ 1,5 là một con số xấp xỉ, rằng nó khó tính toán, rằng nó không từ trên trời rơi xuống – ít nhất là không dễ dàng có được nó, và rằng bạn sẽ mắc phải một sai số lấy mẫu rất lớn. Bạn sẽ quan sát thấy rằng số lượng sách bán trên 1 triệu bản thường không bao giờ là 8 cuốn – nó có thể là 20 cuốn hoặc chỉ có 2 cuốn.
Quan trọng hơn, hàm mũ này bắt đầu ứng dụng với một con số được gọi là “crossover”, (chuỗi phối hợp để thay đổi giá trị và tạo ra các chuỗi mới trong vị trí của chúng) và chỉ ra những con số lớn hơn chuỗi phối hợp này. Có lẽ nó bắt đầu với 200.000 cuốn sách, hoặc có lẽ chỉ 400.000 cuốn.
Tương tự, tài sản cũng có nhiều thuộc tính khác nhau hơn – ví dụ 600 triệu đô-la, khi sự bất bình đẳng gia tăng – so với mức dưới một con số như thế. Làm cách nào bạn biết được điểm “crossover” nằm ở đâu? Đây là một vấn đề. Tôi và các đồng nghiệp của mình đã làm việc với khoảng 20 triệu mẫu dữ liệu tài chính. Tất cả đều có cùng một tập hợp dữ liệu, tuy nhiên, chúng tôi không bao giờ thống nhất một cách chính xác được hàm mũ nào có trong các tập hợp dữ liệu của mình. Chúng tôi biết rằng các dữ liệu đó đã tiết lộ một định luật lũy thừa fractal, nhưng hiểu rằng không ai có thể đưa ra một con số chính xác. Nhưng việc biết rõ – rằng sự phân phối đó có tính thang bậc và phân dạng – cũng đủ để cho chúng tôi vận hành và đưa ra các quyết định.
Một số người đã nghiên cứu và chấp nhận mức phân dạng “đến một điểm”. Họ tranh luận rằng tài sản, doanh số bán sách, và lợi nhuận thị trường đều có một mức nhất định khi mọi thứ không còn phân dạng nữa. “Sai số cụt” (truncation) là những gì họ đã đề xuất. Tôi đồng ý rằng có một mức nơi tính phân dạng có thể sẽ dừng lại, nhưng là mức nào? Việc nói rằng có một giới hạn trên nhưng tôi không biết nó cao đến mức nào, và việc nói rằng không có giới hạn nào chứa các hậu quả giống nhau trên thực tế. Việc đề xuất một giới hạn trên là hết sức không an toàn. Bạn có thể nói, hãy phân tích mức tài sản cao nhất trị giá 150 tỷ đô-la. Sau đó, một người khác cũng có thể nói, “Sao không phải là 151 tỷ đô-la”? Hay “Sao không phải là 152 tỷ đô-la”? Chúng ta cũng có thể xét đến trường hợp biến số đó là không giới hạn.
Tôi đã học được một vài thủ thuật từ các trải nghiệm: bất kỳ số mũ nào tôi cố đo cho được đều có thể bị đánh giá quá cao (hãy nhớ lại rằng một số mũ cao sẽ có vai trò thấp đối với các độ lệch lớn) – những gì bạn nhìn thấy có thể không mang yếu tố Thiên Nga Đen hơn những gì bạn không nhìn thấy. Tôi gọi đây là bài toán ngụy trang (the masquerade problem).
Giả sử tôi tạo ra một quy trình có một số mũ là 1,7. Bạn không nhìn thấy những thứ bên trong công cụ đó, chỉ thấy dữ liệu xuất hiện. Nếu tôi hỏi bạn số mũ đó là gì, nhiều khả năng bạn sẽ tính toán được ra một con số đại loại 2,4. Bạn sẽ vẫn làm thế dù có cả triệu điểm dữ liệu. Nguyên nhân là do phải mất một thời gian dài thì một số quy trình phân dạng mới bộc lộ các thuộc tính của chúng, và bạn sẽ đánh giá thấp mức độ nghiêm trọng của cú sốc đó.
Đôi khi, một phân dạng có thể khiến bạn tin rằng nó là đường cong Gauss, đặc biệt khi điểm cắt bắt đầu ở một con số lớn hơn. Với chức năng đo lường phân phối xác suất ngẫu nhiên, các độ lệch cực đại kiểu đó sẽ đủ hiếm để “hun khói” bạn: bạn không nhận ra được sự phân phối đó là một phân dạng.
Như bạn đã thấy, chúng ta gặp khó khăn trong việc biết về các thông số của bất kỳ mô hình nào được cho là vận hành thế giới. Vì thế, với Extremistan, bài toán quy nạp lại xuất hiện, lần này thậm chí còn ở mức đáng kể hơn so với bất kỳ thời điểm nào trước đó trong cuốn sách này.
Đơn giản, nếu là phân dạng, một cơ chế có thể tạo ra các giá trị lớn; do đó, phạm vi ảnh hưởng của các độ lệch lớn là có thể xảy ra, nhưng rất khó biết được chính xác mức độ ảnh hưởng và chu kỳ xảy ra của chúng. Điều này giống với bài toán về vũng nước: vũng nước đó có thể được tạo ra từ nhiều viên đá. Là một người đi từ thực tế đến các mô hình giải thích khả thi, tôi đối mặt với một khối lượng vấn đề hoàn toàn khác với những người đi theo quy trình ngược lại.
Tôi chỉ đọc ba cuối sách “khoa học đại chúng” tóm tắt về nghiên cứu đó trong các hệ thống phức tạp: Tính phổ cập của Mark Buchanan, Critical Mass (Khối lượng tới hạn) của Philip Ball, và Why Most Things Fail (Vì sao hầu hết mọi thứ đều thất bại) của Paul Ormerod. Ba tác giả này thể hiện thế giới khoa học xã hội như là một nơi chứa đầy định luật lũy thừa, một quan điểm mà tôi hầu như hoàn toàn đồng ý. Họ cũng tuyên bố rằng ở đó có tính vạn vật (universality) của nhiều trong số các hiện tượng này, rằng có một sự tương đồng tuyệt vời giữa các quy trình khác nhau trong tự nhiên và hành vi của các nhóm xã hội, điều mà tôi cũng tán thành. Trong các nghiên cứu của mình, họ dẫn chứng bằng nhiều lý thuyết về các mạng lưới và chỉ ra được sự tương ứng tuyệt vời giữa các hiện tượng được coi là quyết định trong khoa học tự nhiên và tổ chức tự thân của các nhóm xã hội. Họ kết hợp các quy trình tạo ra hình thác nước, những ảnh hưởng xấu trong xã hội, và những thứ họ gọi là các thác nước thông tin – điều mà tôi cũng đồng ý.
Tính vạn vật là một trong những nguyên nhân khiến các nhà vật lý học nhận thấy định luật lũy thừa có liên quan đến các điểm tới hạn là điều đặc biệt thú vị. Ở đây có nhiều tình huống, cả trong lý thuyết các hệ thống động lực lẫn cơ học thống kê, nơi mà nhiều thuộc tính của động lực học quanh các điểm tới hạn đều phụ thuộc vào các chi tiết của hệ thống động lực cơ bản đó. Số mũ ở điểm tới hạn có thể giống đối với nhiều hệ thống trong cùng nhóm, cho dù nhiều khía cạnh khác của hệ thống đó có khác biệt đi nữa. Tôi hầu như đồng ý với khái niệm về tính vạn vật này. Rốt cuộc, cả ba tác giả đều khuyến khích chúng ta ứng dụng các kỹ thuật của vật lý thống kê, né tránh toán kinh tế và các phân phối không mang tính thang bậc theo kiểu đường cong Gauss như tránh dịch bệnh, và tôi vô cùng đồng ý với họ.
Nhưng bằng cách sản sinh và tăng cường độ chính xác, cả ba tác giả đều rơi vào cái bẫy của việc không phân biệt được giữa quy trình hướng về phía trước và quy trình ngược về sau (giữa vấn đề này và một vấn đề ngược lại với nó) – đối với tôi, đây chính là tội lỗi lớn nhất về khoa học và nhận thức luận. Nhưng không chỉ riêng ba tác giả này; hầu như những ai làm việc với các dữ liệu nhưng không đưa ra quyết định dựa trên những dữ liệu đó đều có xu hướng mắc cùng tội lỗi này – một biến thể của lối liên tưởng ngụy biện. Khi không có một quy trình phản hồi, bạn nhìn vào các mô hình và cho rằng chúng chứng thực cho thực tại. Tôi tin vào ý tưởng của ba cuốn sách này, nhưng không tin tưởng vào cách chúng được sử dụng – và dĩ nhiên là không tin vào độ chính xác mà các tác giả gán cho chúng. Trên thực tế, lý thuyết về độ phức tạp cần phải khiến cho chúng ta nghi ngờ hơn đối với các tuyên bố khoa học về các mô hình thực tiễn chính xác. Nó không khiến cho tất cả các thiên nga đều có màu trắng, và là thứ có thể dự đoán được: nó chỉ khiến cho thiên nga có màu xám, và chỉ màu xám mà thôi.
Như tôi đã nói trước đó, về mặt nhận thức luận, thế giới đúng là một nơi hoàn toàn khác đối với một người theo chủ nghĩa kinh nghiệm từ dưới lên. Chúng ta không có sự xa xỉ được ngồi xuống để đọc phương trình chi phối hành tinh này, mà chỉ quan sát dữ liệu và đưa ra giả định về quy trình thật sự của nó, và “định cỡ” bằng cách điều chỉnh phương trình của mình theo thông tin bổ sung. Khi các sự kiện tự xuất hiện trước chúng ta, chúng ta sẽ so sánh những gì nhìn thấy với những gì được mong đợi nhìn thấy. Đó luôn là một quy trình xoàng xĩnh, đặc biệt đối với những ai nhận thức được lối liên tưởng ngụy biện, để phát hiện ra rằng lịch sử di chuyển về phía trước chứ không phải ngược về sau. Người ta cho rằng các doanh nhân là những người rất có tính tự trọng cao, nhưng khi nhắc đến sự khác biệt giữa quyết định và kết quả, giữa các mô hình chính xác và thực tiễn, họ cũng dễ dàng bị bẽ mặt.
Những gì tôi muốn nói là sự mờ đục, sự không hoàn chỉnh của thông tin, sự vô hình của những gì tạo ra thế giới. Lịch sử không cho chúng ta nhìn thấy suy nghĩ của nó – chúng ta cần phải đoán những gì bên trong nó.
Ý tưởng trên kết nối tất cả các phần của cuốn sách này. Trong khi nhiều người nghiên cứu về tâm lý học, toán học hay thuyết tiến hóa và tìm cách áp dụng vào kinh doanh thì tôi xin đề xuất điều hoàn toàn ngược lại: hãy nghiên cứu tính bất định mạnh mẽ chưa được thể hiện trên thị trường như một phương tiện để hiểu biết sâu sắc về bản chất của sự ngẫu nhiên được ứng dụng trong tâm lý học, xác suất, toán học, lý thuyết ra quyết định (decision theory), và thậm chí vật lý thống kê. Bạn sẽ nhìn thấy được những biểu hiện không trung thực của lối liên tưởng ngụy biện, ngụy biện trò chơi, và những sai sót lớn của chủ quan kiến thức Plato từ cách mô tả cho đến thực tế.
Lần đầu tiên khi gặp Mandelbrot, tôi đã hỏi ông vì sao một nhà khoa học có uy tín như ông hẳn phải có nhiều thứ giá trị hơn để làm lại quan tâm đến một chủ đề tầm thường như tài chính. Tôi cho rằng tài chính và kinh tế chỉ là nơi người ta học hỏi từ các hiện tượng thực nghiệm và làm đầy tài khoản ngân hàng của mình trước khi tính đến những việc tốt đẹp và to tát hơn. Mandelbrot trả lời rằng “Dữ liệu, đó là một mỏ vàng dữ liệu”. Quả thực, mọi người quên rằng ông bắt đầu với kinh tế học trước khi chuyển sang vật lý và hình học tự nhiên. Làm việc với nguồn dữ liệu dồi dào như thế khiến chúng ta thấy mình trở nên xoàng xĩnh; nó mang đến khả năng hiểu biết bằng trực giác về sai sót sau: đi sai hướng trên con đường giữa mô tả và thực tế.
Bài toán về một phân môn nhỏ của thống kê học có liên quan đến dữ liệu mang tính chu kỳ – circular statistics – (mà chúng ta cũng có thể gọi là luận cứ/đối số hồi quy thống kê – statistical regress argument) như sau. Ví dụ, bạn cần các dữ liệu quá khứ để biết một phân phối xác suất là thuộc đường cong Gauss, phân dạng hay một thứ gì khác. Bạn cần phải biết mình có đủ dữ liệu để hỗ trợ cho tuyên bố của mình hay không. Làm thế nào biết được chúng ta có đủ dữ liệu hay không? Từ sự phân phối xác suất đó – một phân phối sẽ nói cho bạn biết là có đủ dữ liệu để “tạo sự tự tin” về những gì bạn sắp suy luận. Nếu đó là đường cong hình chuông Gauss thì chỉ cần một vài điểm là đủ (một lần nữa luật số lớn). Và làm thế nào biết được sự phân phối đó là đường cong Gauss? Chính là từ dữ liệu. Vì thế, chúng ta cần có dữ liệu để biết phân phối xác suất đó là gì, và một phân phối xác suất sẽ cho chúng ta biết mình cần bao nhiều dữ liệu. Điều này gây ra một đối số hồi quy khốc liệt.
Sự hồi quy này sẽ không xảy ra nếu bạn giả định trước rằng sự phân phối đó thuộc đường cong Gauss. Vì một lý do nào đó, có thể đường cong Gauss sẽ tạo ra các thuộc tính của nó một cách dễ dàng. Điều này không xảy ra với các phân phối thuộc Extremistan. Vì thế, việc chọn đường cong Gauss trong khi dẫn chứng bằng một quy luật chung nào đó có vẻ như sẽ diễn ra thuận lợi. Đường cong Gauss được dùng như một phân phối mặc định vì chính nguyên nhân đó. Như tôi đã nhắc đi nhắc lại, việc giả định trước được ứng dụng của đường cong này có thể có tác dụng với một số lĩnh vực nhỏ như thống kê về tội phạm, tỷ lệ tử vong, những vấn đề thuộc Mediocristan, nhưng không dành cho các dữ liệu lịch sử về những đặc tính ẩn và những vấn đề thuộc Extremistan.
Vậy sao các nhà thống kê làm việc với các dữ liệu lịch sử lại không nhận biết về vấn đề này? Thứ nhất, họ không muốn nghe rằng toàn bộ công việc của họ đã bị trì hoãn bởi một tài toán quy nạp. Thứ hai, họ không phải đối mặt với kết quả dự đoán của mình trong những hoàn cảnh khắc nghiệt. Như chúng ta đã chứng kiến ở cuộc thi Makridakis, các nhà thống kê đều dựa vào lối liên tưởng ngụy biện, nhưng lại không muốn nghe về nó.
Tôi xin đưa vấn đề này lên mức cao hơn. Như đã được đề cập trước đó, nhiều mô hình hiện đại tìm cách giải thích về nguồn gốc của Extremistan. Quả thực, chúng được chia thành hai lớp nhóm lớn, nhưng đôi khi vẫn có thêm các phương pháp tiếp cận khác. Nhóm thứ nhất gồm mô hình đơn giản người-giàu-càng-giàu-hơn (hay người-mập-càng-mập-hơn) – mô hình này được dùng để giải thích cho việc con người tụ tập đông đúc quanh các thành phố lớn, sự thống lĩnh thị trường của Microsoft và VHS (thay vì Apple và Betamax), v.v. Nhóm thứ hai có liên quan đến những gì được gọi chung là “các mô hình thâm nhập”, trong đó không những chỉ ra hành vi của cá nhân đó mà còn cả “lãnh địa” nơi người đó hoạt động. Khi bạn rót nước lên một bề mặt xốp, cấu trúc của bề mặt đó sẽ có ý nghĩa hơn so với chính chất lỏng được rót. Khi một hạt cát rơi vào một đống cát, cách cơ cấu của địa hình đó chính là những gì quyết định sự xuất hiện của một hiện tượng lở cát.
Dĩ nhiên, hầu hết các mô hình đều cố gắng trở thành thứ có thể dự đoán được chứ không đủ mang tính mô tả; điều này khiến tôi điên tiết. Chúng là những công cụ hữu ích để minh họa cho nguồn gốc của Extremistan, nhưng tôi khẳng định rằng “người tạo ra” thực tế có vẻ như không tuân theo các mô hình này một cách đủ chặt chẽ để khiến chúng trở nên hữu ích trong việc dự đoán chính xác. Ít ra là dựa trên những gì bạn tìm thấy trong các tài liệu ghi chép hiện có về chủ đề Extremistan. Một lần nữa, chúng ta lại đối mặt với những vấn đề định cỡ vô cùng nghiêm trọng, vì thế, cách thật khôn ngoan nếu tránh được những lỗi thông thường trong khi định cỡ một quy trình phi tuyến tính. Hãy nhớ lại rằng các quy trình phi tuyến tính có mức độ tự do lớn hơn các quy trình tuyến tính (như chúng ta đã thấy ở Chương 11), với hàm ý rằng bạn gặp phải rủi ro rất lớn khi sử dụng không đúng mô hình. Những cuốn sách đẹp như của Philip Ball chỉ mang tính minh họa và thông tin chứ không tạo ra các mô hình định lượng chính xác. Đừng đánh giá chúng theo giá trị bề ngoài.
Nhưng hãy cùng xem liệu chúng ta có thể mang về được gì từ các mô hình này.
Thứ nhất, khi giả định yếu tố mang tính thang bậc, tôi chấp nhận rằng một số lớn tùy biến có thể xuất hiện. Nói cách khác, các bất công không nên dừng ở mức trên giới hạn tối đa nào đó đã được biết đến.
Giả sử rằng cuốn sách Mật mã Da Vinci bán được khoảng 60 triệu bản. (sách Kinh thánh bán được 1 tỷ bản nhưng chúng ta hãy bỏ qua điều này và chỉ tập trung phân tích những cuốn sách được viết bởi các tác giả riêng lẻ). Mặc dù chưa bao giờ biết một cuốn sách hư cấu nào được bán tới 200 triệu bản nhưng chúng ta có thể thấy rằng khả năng xảy ra điều đó phải lớn hơn 0. Có thể nhỏ nhưng không thể bằng 0. Đối với mỗi ba cuốn sách bán chạy theo kiểu Mật mã Da Vinci, có thể có một cuốn siêu bán chạy, và mặc dù cho đến nay, tình huống đó vẫn chưa xảy ra nhưng chúng ta không thể loại bỏ khả năng này. Và đối với mỗi 15 cuốn sách theo kiểu Mật mã Da Vinci, sẽ có một cuốn sách siêu bán chạy với số lượng bán ra khoảng 500 triệu bản chẳng hạn.
Hãy áp dụng lôgic này với tài sản. Ví dụ người giàu nhất thế giới có tài sản trị giá 50 tỷ đô-la. Có một khả năng không nhỏ là vào năm sau bỗng đâu xuất hiện một người có tài sản trị giá 100 tỷ đô-la hoặc hơn. Cứ trong ba người có tài sản trị giá trên 50 tỷ đô-la có thể sẽ có một người với tài sản trên 100 tỷ đô-la. Xác suất về người có hơn 200 tỷ đô-la sẽ rất nhỏ – 1/3 xác suất trước đó nhưng không phải là không xảy ra. Thậm chí có khả năng, dù rất rất nhỏ, là một người có hơn 500 tỷ đô-la.
Điều này cho thấy: tôi có thể đưa ra các suy luận về những điều mình không nhìn thấy trong dữ liệu, nhưng chúng vẫn thuộc phạm vi những điều có thể xảy ra. Đâu đó có một cuốn sách bán chạy nhưng không ai nhìn thấy – một cuốn sách không có trong dữ liệu quá khứ nhưng bạn cần phải tính đến. Hãy nhớ lại quan điểm mà tôi đã trình bày ở Chương 13: nó khiến cho việc đầu tư vào một cuốn sách hay một loại thuốc sẽ tốt hơn so với gợi ý từ số liệu thống kê về các dữ liệu quá khứ, nhưng điều đó có thể biến các khoản thua lỗ trên thị trường chứng khoán trở nên tồi tệ hơn so với những gì quá khứ hiển thị.
Bản chất của chiến tranh là mang tính phân dạng (fractal). Có khả năng sẽ xảy ra một cuộc chiến có sức hủy diệt lớn hơn nhiều so với Thế chiến thứ hai, có thể không chắc chắn nhưng không phải là không có khả năng đó, dù trước đây chưa từng xảy ra một cuộc chiến nào như thế
Thứ hai, tôi sẽ lấy ví dụ minh họa từ thiên nhiên để khẳng định quan điểm về độ chính xác. Trong chừng mực nào đó, một ngọn núi cũng tương tự một hòn đá: nó có mối quan hệ với một hòn đá – thứ có cùng họ nhưng không giống hệt nhau. Từ để mô tả những nét tương đồng đó là tự biến đổi (self-affine) chứ không phải tự đồng dạng (self-similar), nhưng Mandelbrot gặp khó khăn trong việc chuyển tải khái niệm về mối quan hệ này, và cụm từ “tự đồng dạng” chuyển tải ý nghĩa về sự giống nhau cụ thể thay vì sự giống nhau do cùng họ. Như đối với núi và hòn đá, sự phân bổ tài sản trên 1 tỷ đô-la không hoàn toàn giống với sự phân bổ tài sản dưới 1 tỷ đô-la nhưng cả hai đều có “tính chất giống nhau”.
Thứ ba, như tôi đã nói từ trước, có nhiều tài liệu về thế giới vật lý kinh tế (tức là việc ứng dụng vật lý thống kê vào các hiện tượng kinh tế xã hội) phục vụ cho việc xác định tầm cỡ đó, phục vụ việc rút ra những con số từ thế giới của các hiện tượng. Nhiều người có gắng để tỏ ra mình có khả năng dự đoán, nhưng than ôi, chúng ta không thể dự đoán “các giai đoạn chuyển tiếp” thành các cuộc khủng hoảng hoặc các trường hợp ảnh hưởng xấu. Didier Somette, bạn tôi, cố gắng tạo ra các mô hình dự đoán – điều tôi rất thích ngoại trừ việc không thể sử dụng chúng để dự đoán – nhưng đừng nói với anh ấy nhé, có thể anh ấy sẽ ngưng làm việc đó. Việc tôi không thể sử dụng các mô hình đó không ảnh hưởng đến công việc của anh ấy, mà chỉ khẳng định là phải có lối tư duy mở mới có thể hiểu được, không giống như các mô hình kinh tế truyền thống lúc nào cũng có sai sót cơ bản. Một vài các hiện tượng của Sornette có thể áp dụng tốt, nhưng không phải tất cả
Tôi đã viết về Thiên Nga Đen trong toàn bộ cuốn sách này. Không phải vì tôi yêu thích Thiên Nga Đen; là một con người, tôi phải ghét nó. Tôi ghét hầu hết những bất công và thiệt hại mà nó gây ra. Do đó, tôi muốn tiêu diệt thật nhiều Thiên Nga Đen, hoặc ít ra là giảm thiểu tác động của chúng để bảo vệ chính mình. Sự ngẫu nhiên phân dạng là một cách để giảm thiểu những bất ngờ này, để khiến cho một số thiên nga có khả năng xảy ra nhằm giúp ta ý thức được hậu quả của chúng, để biến chúng thành màu xám. Nhưng sự ngẫu nhiên phân dạng không đưa ra câu trả lời chính xác. Lợi ích của nó như sau. Nếu bạn biết được thị trường chứng khoán có thể sụp đổ, như đã xảy ra vào năm 1987, khi đó, biến cố này sẽ không phải là Thiên Nga Đen. Sự sụp đổ thị trường chứng khoán năm 1987 không phải là một yếu tố ngoại lai nếu bạn sử dụng phân dạng với cấp số mũ là 3. Nếu bạn biết rằng các công ty công nghệ sinh học có thể cung cấp một loại thuốc siêu bom tấn, to hơn tất cả những loại mà chúng ta có cho đến thời điểm hiện nay thì nó sẽ không phải là Thiên Nga Đen, và bạn cũng sẽ không ngạc nhiên nếu loại thuốc đó xuất hiện.
Do đó, các phân dạng của Mandelbrot cho phép chúng ta tính đến một vài Thiên Nga Đen, chứ không phải tất cả. Trước đó, tôi đã nói rằng một vài Thiên Nga Đen xuất hiện bởi chúng ta bỏ qua các nguồn gốc ngẫu nhiên. Các Thiên Nga Đen khác xuất hiện khi chúng ta đánh giá quá cao hàm mũ phân dạng đó. Một thiên nga xám có liên quan đến các biến cố cực độ theo khuôn mẫu, còn thiên ngã đen liên quan đến các ẩn số chưa biết
Tôi ngồi xuống thảo luận với người đàn ông vĩ đại đó, và như thường lệ, cuộc thảo luận trở thành một trò chơi ngôn ngữ. Trong Chương 9, tôi đã trình bày những gì mà các nhà khoa học đã phân biệt giữa sự bất định Knightian (không thể tính toán được) và rủi ro Knightian (có thể tính toán được); sự phân biệt này không phải là một ý tưởng nguyên mẫu nên không có trong vốn từ vựng của chúng ta, và do đó chúng ta tìm kiếm nó trong tiếng Pháp. Mandelbrot đã nhắc đến một trong những người bạn và những vị anh hùng đầu tiên của mình, nhà toán học thuộc dòng dõi quý tộc Marcel-Paul Schüzenberger, một người học rộng và (giống như tác giả cuốn sách này) là người rất dễ chán và không thể tiếp tục với những vấn đề vượt quá số lượng đầu vào, nơi mà sản phẩm cận biên được tối đa hóa. Schüzenberger nhấn mạnh đến sự khác biệt rõ ràng bằng tiếng Pháp giữa basard và fortuit. Giống như chữ alea, basard có nguồn gốc tiếng Ả Rập là az-zahr, có nghĩa là súc sắc – sự ngẫu nhiên có thể kiểm soát được; còn fortuit là Thiên Nga Đen của tôi – thứ hoàn toàn ngẫu nhiên và ngoài dự kiến. Chúng tôi tìm đến từ điển Petit Robert; rõ ràng, sự khác biệt này được nhắc đến trong đó. Fortuit có vẻ như tương ứng với sự “mờ đục” trí thức mà tôi đã nói, l’imprévu et non quantifiable (không thể dự đoán và không xác định được); còn hasard thì tương ứng với kiểu bất định mang tính trò chơi mà Chevalier de Méré đã đề xuất trong các tài liệu về trò chơi trước đó. Đáng chú ý là người Ả Rập có lẽ đã giới thiệu một từ khác vào vấn đề của tính bất định: rủi ro, một thuộc tính đầy ý nghĩa.
Tôi xin nhắc lại: Mandelbrot bàn về thiên nga xám, còn tôi bàn về Thiên Nga Đen. Vì thế, Mandelbrot đã thuần hóa nhiều Thiên Nga Đen của tôi nhưng không phải tất cả, không hoàn toàn. Nhưng ông cho chúng ta thấy được một tia hy vọng với phương pháp của mình, một cách để bắt đầu tư duy về các bài toán bất định. Quả thực, bạn sẽ an toàn hơn nữa nếu biết được nơi ở của những con vật hoang dã đó.
